Jak obliczyć różnice w upływie czasu pomiędzy różnymi punktami na Ziemi?

Pytanie

Pyta Robert

Czy da się obliczyć różnicę w upływie czasu (jeśli tak to prosiłbym o wzór) i czy taka w ogóle jest, między człowiekiem mieszkającym na najwyższym punkcie na Ziemi, a człowiekiem mieszkającym na najniższym? Zakładając, że oboje żyją po 80 lat, ile można „zyskać/stracić czasu” mieszkając w tych miejscach?

Odpowiedź

Odpowiada Andrzej Okołów

Niech $Z_1$ i $Z_2$ będą zdarzeniami zachodzącymi na Ziemi w ustalonym punkcie $p$ położonym na poziomie morza. Oznaczmy symbolem $T$ upływ czasu pomiędzy tymi zdarzeniami mierzony przez zegar spoczywający w tym samym punkcie. Zdarzeniom $Z_1, Z_2$ można przypisać w sposób opisany tutaj zdarzenia $Z’_1,Z’_2$ zachodzące w punkcie $p’$ położonym na wysokości $h$ kilometrów nad punktem $p$. Jeśli $T’$ oznacza upływ czasu pomiędzy zdarzeniami $Z’_1$ i $Z’_2$ mierzony przez zegar spoczywający w punkcie $p’$ to zachodzi następująca (przybliżona) zależność:
\[
\frac{T’}{T}\approx\sqrt{\frac{1-\dfrac{2M_\oplus}{R_\oplus+h}}{1-\dfrac{2M_\oplus}{R_\oplus}}},
\]
gdzie $M_\oplus=4,45\cdot 10^{-6}$ km jest masą Ziemi wyrażoną w jednostkach geometrycznych, a $R_\oplus=6370$ km jest (średnim) promieniem Ziemi.

Jeśli zaś każda ze wspomnianych w pytaniu osób żyje przez 80 lat, to żyje dokładnie przez te 80 lat — ani ułamka sekundy dłużej ani krócej i tym samym „nic nie traci” i „nic nie zyskuje”.