Strona głównaPytania → Czarne dziury i upływ czasu

Czarne dziury i upływ czasu

Pytanie

Pyta Ryszard

Jeśli wraz ze zbliżaniem się do obiektu o dużej masie czas przyspiesza (gdyż np. płynie on wolniej na orbicie ziemskiej względem czasu na ziemi), to czy zasadę tę można zastosować też do czarnych dziur, i czy przyspieszający czas nie będzie przypadkiem równoważny zwiększającej się sile grawitacji, przez co obiekt który przekroczy horyzont zdarzeń nie ulegnie rozszczepieniu z powodu „różnych od siebie sił grawitacji na swoich przeciwległych końcach” (wedle założenia lansowanego w programach naukowych), a pozostanie jednorodny ze względu na jednorodną proporcję czasu do prędkości przyciągania ?

Odpowiedź

Odpowiada Andrzej Okołów

W ogólnej teorii względności (OTW) poprawnie określoną wielkością fizyczną jest upływ czasu pomiędzy dwoma ustalonymi zdarzeniami mierzony przez ustalony zegar, zaś mówienie o upływie czasu w oderwaniu od ustalonych zdarzeń i od ustalonego zegara, który ten czas mierzy, jest niepoprawne.

Podobnie, w geometrii poprawnie określoną wielkością jest długość odcinka ustalonej krzywej wyznaczonego przez dwa punkty (leżące na tej krzywej), natomiast mówienie o długości w oderwaniu od krzywej i od punktów wyznaczających jej odcinek nie ma sensu.

Powyższe odwołanie się do geometrii nie jest przypadkowe — w OTW pomiar upływu czasu pomiędzy parą zdarzeń przez ustalony zegar odpowiada pomiarowi (czasoprzestrzennej) długości odcinka pewnej krzywej. W tej teorii każdemu obiektowi (którego rozciągłość możemy w rozważanej sytuacji zaniedbać) przypisujemy czasoprzestrzenną krzywą zwaną linią świata — krzywa ta opisuje ruch tego obiektu. W szczególności każdy zegar posiada swoją linię świata. Rozważmy zdarzenia $Z_1,Z_2$ leżące na linii świata pewnego zegara i tym samym wyznaczające odcinek $\overline{Z_1Z_2}$ tej krzywej. Jeżeli zdarzeniu $Z_1$ odpowiada wskazanie $t_1$ tego zegara, a zdarzeniu $Z_2$ wskazanie $t_2$ to upływ czasu $\Delta t=t_2-t_1$ mierzony przez zegar okazuje się być równy czasoprzestrzennej długości odcinka $\overline{Z_1Z_2}$. Do związku między upływem czasu w teorii względności a długością w geometrii będziemy się poniżej jeszcze odwoływać, dlatego też przed lekturą dalszej części niniejszej odpowiedzi warto zapoznać się z zastosowaniem tego związku do wyjaśnienia paradoksu bliźniąt.

Przyjrzyjmy się teraz zamieszczonym w tekście pytania stwierdzeniom, że „wraz ze zbliżaniem się do obiektu o dużej masie czas przyspiesza” i że „czas płynie wolniej na orbicie względem czasu na Ziemi”.

Zauważmy, że stwierdzenia te dotyczą upływu czasu oderwanego od konkretnej pary zdarzeń i od konkretnego zegara mierzącego ten upływ, a zatem są niepoprawne z punktu widzenia OTW.

Oczywiście, można znaleźć

  • parę zdarzeń $Z_1,Z_2$ zachodzących na powierzchni Ziemi takich, że upływ czasu między nimi mierzony przez zegar znajdujący się na powierzchni Ziemi wynosi np. 10 sekund,
  • parę zdarzeń $Z’_1,Z’_2$ zachodzących na orbicie takich, że upływ czasu między nimi mierzony przez zegar znajdujący się tej samej orbicie wynosi np. 5 sekund.

Czy można na tej podstawie twierdzić, że „czas płynie wolniej na orbicie względem czasu na Ziemi”? Nie, nie można.

Aby uzasadnić powyższą negatywną odpowiedź posłużymy się analogią geometryczną. Otóż przypuśćmy, że udało nam się znaleźć

  • dwie miejscowości $A_1,A_2$ w Polsce połączone szosą o długości 10 km,
  • dwie miejscowości $A’_1,A’_2$ w USA połączone szosą o długości 5 km.

Czy można na tej podstawie twierdzić, że „długości szos w USA rosną wolniej względem długości szos w Polsce”? Oczywiście nie — stwierdzenie to brzmi dość absurdalnie…

Skąd więc tego typu stwierdzenia o wolniejszym czy też szybszym upływie czasu się biorą?

Otóż może zdarzyć się, że istnieje pewna relacja pomiędzy parą zdarzeń $Z_1,Z_2$ i parą $Z’_1,Z’_2$ np. zdarzenie $Z_1$ może być emisją błysku światła przez obserwatora $\cal O$, a $Z’_1$ odebraniem tego błysku przez innego obserwatora $\cal O’$, i podobnie zdarzenie $Z_2$ może być emisją kolejnego błysku światła przez obserwatora $\cal O$, a $Z’_2$ odebraniem tego błysku przez obserwatora $\cal O’$. Oznaczmy symbolem $T$ upływ czasu pomiędzy zdarzeniami $Z_1,Z_2$ mierzony przez zegar obserwatora $\cal O$, a symbolem $T’$ upływ czasu pomiędzy zdarzeniami $Z’_1,Z’_2$ mierzony przez zegar obserwatora $\cal O’$. Może zdarzyć się też, że upływ czasu $T$ jest krótszy od $T’$:
\[
T<T’.
\]

Taka sytuacja ma miejsce na przykład w polu grawitacyjnym nieobracającego się sferycznie symetrycznego ciała o ustalonej masie i obserwatorów $\cal O$ i $\cal O’$ spoczywających względem tego ciała w ten sposób, że obserwator $\cal O$ znajduje się bliżej powierzchni tego ciała niż obserwator $\cal O’$, co oznacza, że obserwator $\cal O$ znajduje się w obszarze silniejszego pola grawitacyjnego niż obserwator $\cal O’$.

Widząc, że w rozważanej sytuacji upływ czasu $T$ mierzony w silniejszym polu grawitacyjnym jest krótszy od upływu czasu $T’$ mierzonego w polu słabszym, łatwo jest ulec pokusie sformułowania zgrabnego i ogólnego stwierdzenia mówiącego, że „czas w silniejszym polu grawitacyjnym płynie wolniej niż w słabszym”. Stwierdzenie to rzeczywiście jest zgrabne i ogólne i łatwo zapada w pamięć, ale jest bardzo problematyczne przynajmniej z dwóch powodów:

  • wbrew regułom obowiązującym w OTW w stwierdzeniu tym odrywa się upływ czasu od konkretnych zdarzeń i zegarów ten czas mierzących;
  • stwierdzenie to jest sformułowane w oparciu o własności szczególnego pola grawitacyjnego i szczególnych obserwatorów (szczególnych zegarów) co oznacza, że ogólność tego stwierdzenia jest wątpliwa.

Rozwijając powyższe dwa argumenty podkreślmy, że w OTW w przypadku dwóch zegarów jedyne co można porównać to upływ czasu $T(Z_1,Z_2)$ pomiędzy zdarzeniami $Z_1,Z_2$ mierzony przez pierwszy zegar z upływem czasu $T'(Z’_1,Z’_2)$ pomiędzy zdarzeniami $Z’_1,Z’_2$ mierzonym przez drugi zegar. Przypuśćmy, że ustaliliśmy zdarzenia $Z_1,Z_2$ i zmierzyliśmy upływ czasu $T(Z_1,Z_2)$. Powstaje teraz pytanie: z czym mamy ten upływ porównać? Ściśle mówiąc: jak mamy wybrać zdarzenia $Z’_1,Z’_2$ wyznaczające upływ czasu $T'(Z’_1,Z’_2)$ drugiego zegara, który to upływ chcemy porównać z $T(Z_1,Z_2)$?

W ogólnym przypadku (tzn. dowolnie wybrana czasoprzestrzeń i dowolnie wybrana para zegarów) nie ma na to rozsądnej recepty: parę zdarzeń $Z’_1,Z’_2$ można wybierać na różne sposoby (byleby tylko obydwa zdarzenia leżały na linii świata drugiego zegara). Można na przykład użyć do tego celu błysków światła tak jak w przykładzie opisanym powyżej, ale zamiast światła (będącego strumieniem fotonów) można użyć innych cząstek (np. protonów). Problem polega na tym, że różne sposoby wyboru pary $Z’_1,Z’_2$ dają różne wartości upływu $T'(Z’_1,Z’_2)$ i trudno jest uzasadnić, że jeden wybór jest lepszy od drugiego. W konsekwencji nie bardzo wiadomo jaki upływ czasu $T'(Z’_1,Z’_2)$ ma być porównany z ustalonym upływem $T(Z_1,Z_2)$ – podobnie, w podanym powyżej przykładzie z szosami łączącymi miejscowości w USA i Polsce trudno jest uzasadnić, dlaczego długość szosy pomiędzy miejscowościami $A_1,A_2$ ma być porównywana z długością szosy akurat pomiędzy miejscowościami $A’_1,A’_2$ a nie jakimiś innymi. Zatem w ogólnym przypadku nie ma dobrego sposobu na porównywanie wskazań dwóch różnych zegarów i w konsekwencji nie ma podstaw do twierdzenia, że w tym miejscu czas płynie szybciej czy wolniej niż w tamtym miejscu.

Natomiast opisany powyżej przypadek obserwatorów spoczywających względem sferycznie symetrycznego obiektu jest przypadkiem wyjątkowym. Jego wyjątkowość polega na tym, że jeżeli zamiast fotonów obserwator ${\cal O}$ w odstępie „swojego” czasu $T$ wyśle w kierunku obserwatora ${\cal O}’$ dwie dowolne lecz takie same cząstki o jednakowej energii to upływ czasu pomiędzy zarejestrowaniem jednej i drugiej cząstki przez ${\cal O}’$ mierzony przez jego zegar będzie dokładnie równy wartości $T’$ otrzymanej w przypadku użycia fotonów. Ta niezależność wartości $T’$ od rodzaju i energii użytych cząstek pozwala uznać, że rzeczywiście wartości $T$ mierzonej przez ${\cal O}$ odpowiada wartość $T’$ mierzona przez ${\cal O}’$. Skoro tak, to w tym przypadku porównywanie ze sobą wartości $T$ i $T’$ ma sens.

Podsumowując, do wszelkich stwierdzeń mówiących o upływie czasu w oderwaniu od ustalonych zdarzeń i ustalonego zegara mierzącego ten upływ należy podchodzić bardzo sceptycznie i tym bardziej nie należy ich używać do wyciągania wniosków w rodzaju tych zaprezentowanych w pytaniu (zastrzeżenia te dotyczą upływu czasu w czasoprzestrzeniach opisywanych przez OTW, o podobnych zastrzeżeniach odnośnie upływu czasu w czasoprzestrzeni szczególnej teorii względności można przeczytać tutaj).

Jeśli zaś chodzi o los ciała, które wpadło pod horyzont czarnej dziury, to według OTW rzeczywiście ulegnie ono rozerwaniu z powodu bardzo dużej różnicy sił działających na różne punkty tego ciała. I nie jest to założenie, lecz dość elementarny wniosek wyprowadzony z równań ruchu obowiązujących w OTW.