Strona głównaPytania → Orbity satelity

Orbity satelity

Pytanie

Pyta krzysiek

Bardzo mnie i moich kolegów interesuje co by się stało, gdyby stacje kosmiczną, która dryfuje po orbicie kołowej w odległości 400 km od Ziemi, przesunąć 5 razy dalej, to jest do 2000 km. Czy zmiana tej odległości bez przyśpieszenia spowodowałaby zmianę orbity? Czy może stacja kosmiczna odleciałaby po linii prostej w siną dal, bo tak małego drobiazgu ziemia by już nie przyciągnęła? Np. Księżyc jest wprawdzie dalej, bo 384 000 km, ale Księżyc ma ogromną masę i nawzajem z Ziemią się przyciągają.

Odpowiedź

Odpowiada dr hab. Piotr Sułkowski

Tor jakiegoś obiektu może być zakrzywiony wtedy, kiedy na ten obiekt działa siła prostopadła do tego toru. Jeśli jakiś obiekt, np. stacja kosmiczna lub Księżyc, porusza się po orbicie kołowej wokół Ziemi, to znaczy to, że cały czas działa na niego siła prostopadła do kierunku ruchu i zakrzywiająca tor. Jest to tzw. siła dośrodkowa. W ogólności źródła tej siły mogą być różne, natomiast jej wartość zawsze można wyrazić jako $mv^2/R$, gdzie $v$ to prędkość (liniowa) poruszającego się obiektu, $m$ to jego masa, a $R$ to promień orbity.

W przypadku satelity (sztucznego lub naturalnego) o masie $m$ okrążającego Ziemię po orbicie o promieniu $R$, źródłem siły dośrodkowej jest oczywiście siła grawitacji, która wynosi $GMm/R^2$, gdzie $M$ to masa Ziemi, natomiast $G\simeq 6,67 \times 10^{-11} \frac{m^3}{s^2 kg}$ to stała grawitacji. Z porównania tego wzoru z powyższym dostajemy

\[
\frac{mv^2}{R} = G\frac{Mm}{R^2},
\]

czyli

\begin{equation}
v=\sqrt{\frac{GM}{R}}.   \label{eq1}
\end{equation}

Zatem jeśli satelita miałby poruszać się po orbicie kołowej, to promień tej orbity $R$ musi być związany z prędkością satelity $v$ zgodnie z powyższym wzorem. Te zagadnienia wyjaśnialiśmy też tutu.

Co w takim razie się stanie, jeśli nagle zwiększymy odległość satelity od Ziemi, bez zmiany prędkości $v$? Z powodu większej wartości $R$ siła grawitacji działająca na satelitę będzie mniejsza, a zatem łatwiej będzie mu „uciec” od Ziemi na większą odległość. O ile jednak jego odległość, ani prędkość, nie będą zbyt duże, to nie będzie on w stanie oddalić się w nieskończoność, i w pewnym momencie zawróci w kierunku Ziemi. Można pokazać (rozwiązując równania Newtona), że w takim wypadku jego orbita będzie miała kształt elipsy.

Natomiast jeśli oddalimy satelitę wystarczająco daleko, lub też nadamy mu odpowiednio dużą prędkość, to będzie on w stanie odlecieć „w siną dal”. Co prawda Ziemia zawsze będzie go przyciągać i wpływać na kształt toru, ale ten kształt nie będzie już elipsą (czyli krzywą zamkniętą), ale hiperbolą (czyli krzywą otwartą, która „ucieka” do nieskończoności). Łatwo jest sprawdzić czy satelita będzie w stanie uciec do nieskończoności, obliczając jego całkowitą energię, będącą sumą grawitacyjnej energii potencjalnej oraz energii kinetycznej:

\begin{equation}
E=-\frac{GMm}{r}+\frac{mv^2}{2}  \label{E}
\end{equation}

gdzie tym razem $r$ oznacza odległość satelity od środka Ziemi, a $v$ jego prędkość. Jeśli powyższa energia będzie nieujemna, $E\geq 0$, to satelita będzie w stanie uciec do nieskończoności. Natomiast dla $E<0$ satelita nie będzie w stanie uciec do nieskończoności i jego orbita będzie miała kształt elipsy.

Zatem rzeczywiście przesunięcie satelity na inną odległość od Ziemi zmieni kształt jego orbity. Co się stanie w przypadku sytuacji opisanej w pytaniu? Z równania (\ref{E}) wynika, że satelita będzie w stanie uciec do nieskończoności, gdy

$$
r\geq 2\frac{GM}{v^2}.
$$

Zakładając z kolei, że jego prędkość (w początkowym momencie — później będzie się ona zmieniać) jest taka sama jak na orbicie kołowej (o promieniu $R$) na której oryginalnie ciało się znajdowało, czyli dana przez (\ref{eq1}), otrzymujemy ostatecznie

$$
r\geq 2R.
$$

Oznacza to, że jeżeli ciało poruszające się po orbicie kołowej o promieniu $R$ oddalimy przynajmniej dwa razy dalej, to będzie ono w stanie uciec do nieskończoności (ale nie po linii prostej, tylko po krzywej w kształcie hiperboli). W szczególności, jeśli oddalimy je pięć razy dalej, to też ucieknie do nieskończoności. Odpowiedź ta nie zależy ani od masy ciała, ani od jego oryginalnej prędkości lub promienia orbity. Natomiast gdybyśmy przesunęli satelitę na odległość mniejszą niż $2R$, to jego orbita stałaby się eliptyczna (więc „w siną dal” nie mógłby uciec).

Warto zaznaczyć, że minimalna prędkość jaką należy nadać statkowi kosmicznemu startującemu z Ziemi (lub innego ciała niebieskiego), tak by był on w stanie odlecieć do nieskończoności (po orbicie hiperbolicznej), nazywana jest drugą prędkością kosmiczną. Wyliczyć ją można narzucając warunek $E=0$, przy $E$ danym wzorem (\ref{E}). O prędkościach kosmicznych pisaliśmy też tutaj.