Strona głównaPytania → Wersja paradoksu tyczki

Wersja paradoksu tyczki

Pytanie

Pyta Maksymilian

Wyobraźmy sobie statek kosmiczny, który leci przez kosmos z punktu A do B z prędkością $0.99 c$. O ile się orientuję skrócenie Lorentza sprawi, że z punktu widzenia pasażerów odległość AB jak i długość wszystkich mijanych obiektów się skróci, tym samym długość statku pozostanie bez zmian. Teraz przyjmijmy drugi identyczny statek lecący w przeciwną stronę. Co będą widzieć pasażerowie w czasie gdy statki się mijają? Powinien istnieć moment w którym drugi, „krótszy” statek minie ich dziób, lecz jeszcze nie doleci do ogona. Co gdyby w tym momencie z przodu i z tyłu statku wysunęły się długie pręty i „uwięziły” ten drugi? To wydaje się niemożliwe, przecież pasażerowie drugiego statku widzą dokładnie to samo. Gdzie jest błąd w moim rozumowaniu?

Odpowiedź

Odpowiada Andrzej Okołów

Problem postawiony w pytaniu jest wersją „paradoksu” stodoły i szybkobiegacza z tyczką.

Wyobraźmy sobie szybkobiegacza, który biegnie dzierżąc w ręku długą tyczkę utrzymując ją przez cały czas w położeniu pionowym i w kierunku równoległym do kierunku biegu. Na drodze szybkobiegacza znajduje się stodoła posiadająca dwoje drzwi, które nazwiemy drzwiami $A$ i drzwiami $B$. Drzwi te umieszczone są jedne naprzeciw drugich — drzwi $A$ są otwarte, a drzwi $B$ zamknięte. Przypuśćmy, że spoczynkowa odległość między drzwiami stodoły tzn. odległość mierzona w układzie odniesienia $\cal U$, w którym stodoła spoczywa jest równa spoczynkowej długości tyczki.

Szybkobiegacz wraz z tyczką wbiega do stodoły przez otwarte drzwi $A$. Tyczka będąc w ruchu względem stodoły ulega (w układzie odniesienia $\cal U$) skróceniu Lorentza, przez co staje się krótsza od spoczynkowej odległości pomiędzy drzwiami $A$ i $B$. Dlatego też zanim przedni koniec tyczki dotknie zamkniętych drzwi $B$ jej tylny koniec znajdzie się wewnątrz stodoły, co pozwoli na zamknięcie drzwi $A$, przez które szybkobiegacz wbiegł do stodoły. Zatem przez krótką chwilę tyczka będzie znajdowała się wewnątrz stodoły pomiędzy zamkniętymi drzwiami z jednej i z drugiej strony (ta chwila odpowiada „uwięzieniu” jednego statku kosmicznego przez drugi, o którym mowa w pytaniu). Następnie szybkie otwarcie drzwi $B$ umożliwia szybkobiegaczowi i tyczce opuszczenie stodoły bez zmiany prędkości.

Zauważmy teraz, że w układzie odniesienia ${\cal U}’$, względem którego tyczka (i szybkobiegacz) spoczywa to stodoła porusza się i to ona (czyli odległość pomiędzy drzwiami $A$ i $B$) ulegając skróceniu Lorentza staje się krótsza od tyczki. Oznacza to, że z punktu widzenia układu ${\cal U}’$ tyczka w żaden sposób nie może być przez najkrótszą nawet chwilę zamknięta w stodole.

Sytuacja wygląda więc na pierwszy rzut oka na sprzeczną — tyczka w układzie odniesienia $\cal U$ mieści się wewnątrz stodoły, a w układzie ${\cal U}’$ nie.

W rzeczywistości żadnej sprzeczności tutaj nie ma. Co to bowiem oznacza, że tyczka mieści się w stodole? Oznacza to, że z punktu widzenia układu $\cal U$ zdarzenie $Z_A$ polegające na zamknięciu drzwi $A$ zachodzi wcześniej niż zdarzenie $Z_B$ polegające na otwarciu drzwi $B$ — owa chwila pomiędzy tymi zdarzeniami jest chwilą, w której tyczka znajduje się wewnątrz stodoły.

Tymczasem z punktu widzenia układu ${\cal U}’$ kolejność zdarzeń $Z_A,Z_B$ okazuje się odwrotna: najpierw zachodzi zdarzenie $Z_B$, a potem $Z_A$. Dokładniej rzecz ujmując: w tym układzie to stodoła zbliża się do tyczki i dzięki otwartym drzwiom $A$ wchłania do swego wnętrza jeden jej koniec. Zanim ten koniec zetknie się z zamkniętymi drzwiami $B$ otwierają się one (zdarzenie $Z_B$) i przez pewien czas koniec ten wystaje ze stodoły na zewnątrz przez drzwi $B$, podczas gdy drugi koniec tyczki wystaje ze stodoły przez wciąż otwarte drzwi $A$ — zauważmy, że ta sytuacja jest w pełnej zgodzie ze skróceniem Lorentza stodoły, które ma miejsce w układzie ${\cal U}’$. Dopiero po chwili, gdy stodoła wchłonie drugi koniec tyczki (i gdy pierwszy koniec jest już od dawna na zewnątrz), zamykają się drzwi $A$ (zdarzenie $Z_A$). W ten sposób tyczka z punktu widzenia rozważanego układu nigdy nie jest zamknięta w stodole.

Podsumowując: w rozważanym zagadnieniu unikamy sprzeczności dzięki temu, że w szczególnej teorii względności chronologia niektórych par zdarzeń zależy od układu odniesienia, zaś fakt znajdowania się (całej) tyczki we wnętrzu stodoły zależy od kolejności zdarzeń $Z_A$ i $Z_B$ — w układzie $\cal U$ najpierw zachodzi zdarzenie $Z_A$, później $Z_B$, zaś w układzie ${\cal U}’$ chronologia tej pary zdarzeń jest odwrotna.